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第一讲 数列极限

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实数完备性定理

要求

  1. 给出概念、定理的名字可以使用数学语言准确叙述。

  2. 掌握基本的定理证明链（详细参考1.4.1 1.4.2）：

    • 确界原理\(\rightarrow\)单调有界定理\(\rightarrow\)致密性定理\(\rightarrow\)Cauchy准则

    • 单调有界定理\(\rightarrow\)闭区间套定理\(\rightarrow\)有限覆盖定理（聚点原理和Dedekind分割定理不要求）

    • 确界原理\(\rightarrow\)各个定理

  3. 期末考试会在这几个定理里出叙述题和证明题；小测会考各个定理的数学叙述细节。

概念叙述

  1. 有界，无界

    \[ \begin{align} 数列有界: &\quad\forall n>0,\exists M\in \text{R},使|x_n|<M恒成立\\ 数列无界: &\quad\forall M\in \text{R},\exists n>0,使|x_n|>M \\ 错误(?): &\quad\exists n>0,\forall M\in \text{R},使x_n>M \end{align} \]

    数学语言的否定：转换全称量词和存在量词，注意量词顺序，改变符号

  2. 最大数，最小数

    \[ \begin{align} \max\{S\}=a &\iff a\in S且\forall x\in S,a\ge x\\ \min\{S\}=b &\iff b\in S且\forall x\in S,b\le x \end{align} \]

  3. 上确界，下确界

    \[ \begin{align} M=\sup\{S\}\iff& \forall x\in S,x\le M且\forall\epsilon>0,\exists x'\in S有x'>M-\epsilon\\ m=\inf\{S\}\iff& \forall x\in S,x\ge m且\forall\epsilon>0,\exists x'\in S有x'<M+\epsilon \end{align} \]

定理叙述

  1. 确界原理

    非空有界集必有上下确界

  2. 单调有界定理

    单调有界数列必收敛

  3. 致密性定理

    任何有界数列必有收敛子列

  4. Cauchy准则

    \[ a_n收敛\iff\forall \epsilon>0,\exists N>0,\forall m,n>N,均有|a_m-a_n|<\epsilon \\ \iff \forall \epsilon>0,\exists N>0,\forall n>N,p>0,均有|a_{n+p}-a_n|<\epsilon \]

  5. 区间套定理

    \[ \begin{align} & 设闭区间列\{[a_n,b_n]\}满足:\\ & 1.[a_{n+1},b_{n+1}]\subset[a_n,b_n],n=1,2,3..\\ & 2.\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0 \\ & 则存在唯一实数\xi，满足\xi\in[a_n,b_n],n=1,2.. \end{align} \]

  6. 有限覆盖定理

    \[ \begin{align} & 设[a,b]是一个闭区间，\{E_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}是[a,b]的任意一个开覆盖，\\ & 则必存在\{E_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}的一个子集构成[a,b]的一个有限覆盖。 \\ \iff & 在\{E_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}必有有限个开区间E_1,E_2..E_N使[a,b]\subset\cup_{j=1}^NE_j \end{align} \]

常用技巧

  1. 证明集合相等的常用方法：相互包含

    例题：确界的关系式

    设 \(A,B\) 是两个由非负数组成的任意数集,试证明 \(\sup_{x\in A}\{x\}\cdot \sup_{y\in B}\{y\}=\sup_{x\in A,y\in B}\{xy\}\)

  2. 对于实数完备性定理的证明题，首先将给的条件和证明内容均翻译成数学语言（方便骗分），再观察条件和证明内容的联系。

例题&习题

  1. 用确界原理证明单调有界原理、致密性定理、Cauchy准则、闭区间套定理、有限覆盖定理。
  2. 用单调有界定理证明闭区间套定理，用闭区间套定理证明有限覆盖定理；用致密性定理证明Cauchy收敛准则。
  3. \(f,g为D上有界函数,\text{pf:}\inf\{f(x)+g(x)\}\le\inf{f(x)}+\sup{g(x)}\)
  4. 设\(f(x)在[0,1]上递增,f(0)>0,f(1)<1,求证:\exists x_0\in(0,1),使得f(x_0)=x_0^2\) (Hint:确界原理or区间套定理)
  5. 设\(f(x)\)在\([a,b]\)上有定义且在每一点处函数的极限存在，求证\(f(x)\)在\([a,b]\)上有界 (Hint:有限覆盖)
  6. \(设f(x)在(a,b)内有定义，\forall\xi\in(a,b),\exists\delta>0,当x\in(\xi-\delta,\xi+\delta)\cap(a,b)时,\)有当\(x<\xi\)时,\(f(x)<f(\xi), 当x>\xi\)时,\(f(x)>f(\xi)\).请证明:\(f(x)在(a,b)\)内严格递增 (Hint:有限覆盖)

数列极限

要求

  1. 从小测的角度来说，概念，定理以及判断题是比较重要（搞脑子）的，当然也会有计算题
  2. 期末考试可能会出1-2道求极限，1道非常简单的极限证明题（附在定理叙述上）
  3. 计算也需要掌握，但是技巧性强的可以不掌握
  4. 学好数列极限对函数极限和级数都很有帮助，而学好了函数极限就可以学好导数和积分，然后你就学会了数分1

概念叙述

  1. 数列极限（\(\epsilon-N\)语言）
\[ \forall\epsilon>0,\exists N>0,\forall n>N,|x_n-A|<\epsilon称\lim_{x\rightarrow\infty}x_n=A\\ *:|x_n-A|<f(\epsilon),f(x)满足\lim _{x\rightarrow0}f(x)=0即可 \]
  1. 数列发散
\[ \forall A\in R,\exists\epsilon_0>0,\forall N>0,\exists n_N>N,|x_n-A|\ge\epsilon_0 \]

  1. 子列

    \[ \{a_n\}收敛\iff \{a_n\}的任意子列都收敛于A(请注意减弱命题) \]

  2. 无穷小量和无穷大量

    \[ \begin{align} & 无穷小量 : \lim_{x\rightarrow\infty}= 0 \\ & 无穷大量 : \forall M>0,\exists N,\forall n>N,|x_n|>M \end{align} \]

定理叙述

  1. Stolz定理

    常用于计算形式需要洛必达的极限

  2. Cauchy收敛准则、等价形式及否定

\[ \begin{align} a_n收敛& \iff\forall \epsilon>0,\exists N>0,\forall m,n>N,均有|a_m-a_n|<\epsilon \\ & \iff \forall \epsilon>0,\exists N>0,\forall n>N,p>0,均有|a_{n+p}-a_n|<\epsilon \\ 否定形式:a_n发散& \iff\exists\epsilon_0>0,\forall N,\exists n_0>N,p>0,|x_{n_0+p}-x_{n_0}|\ge\epsilon_0 \end{align} \]

常用技巧

  1. 一些关系链：

    1. \(n\rightarrow\infty时\)
    \[ \log\log n\ll \log n \ll n^a\ll b^n\ll n!\ll n^n\quad(a,b>0) \]
    1. \(x\rightarrow0时\)
    \[ \begin{align} x \sim &\sin x\sim \tan x \sim \arcsin x\sim \arctan x \\ \sim &\ln{(1+x)} \sim \text{e}^x-1 \sim \frac{a^x-1}{\ln a}\sim \frac{(1+x)^b-1}b \quad(a>0,b\neq0)\\ & 1-\cos x \sim \frac12 x^2 \end{align} \]

  2. 证明数列极限存在：

    1. 定义（\(\epsilon-N\)方法）

    技巧：放大法(常用)/分步法/构造形式类似的项/拟合法(技巧性较强)

    1. Cauchy准则：不需要知道极限值

    2. Cauchy准则的推论：常用于判断数项级数是否收敛(\(a_n=\sum_{n=1}^{\infty}f(n)\))

    3. 单调有界原理：不动点，递推式考虑

    4. 极限的运算性质：本身存在极限 有限项运算

  3. 证明数列极限不存在：

    1. Cauchy命题的否定形式
    2. 子列不收敛或收敛于不同的数

  4. 求数列(函数)极限：

    1. 极限的运算性质

    一些重要极限：\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}n^\frac1n=1\)，\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1+\frac1n)^n=e\)

    1. Stolz定理

    2. 夹逼定理

    3. 等价代换与初等变形

    4. 递推形式的极限：单调有界原理+证明/压缩映像(略难)/Stolz公式的应用

    5. Taylor/L'Hospital/积分定义/数项级数/级数的连续性...： 很重要，但这是后事了

例题&习题

  1. 判断下列关于子列的命题

    1. 设\(\{a_n\}\)是一个数列，若在任一子列\(\{a_{n_k}\}\)中均存在收敛子列\(\(\{a_{n_{k_r}}\}\)\),则\(\(\{a_n\}\)\)必收敛
    2. \(\{a_n\}单调递增，\{a_{n_k}\}为其中一个子列，\lim\limits_{k\rightarrow\infty}a_{n_k}=a,则\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{a_n}=a\)
    3. \(\{a_{2k}\}\{a_{2p+1}\}\{a_{2023t+2024}\}均收敛，则\{a_n\}收敛\)
    4. \(\{a_{2k}\}\{a_{2t+1}\}\{a_{6p+5}\}均收敛，则\{a_n\}收敛\)

  2. 判断下列关于无穷小量的命题

    1. 无穷多个无穷小量之和是无穷小量
    2. 无穷多个无穷小量之积是无穷小量
    3. 无穷小量与有界量之积为无穷小量

  3. 判断下列关于数列极限的命题

    1. 数列\(a_n\)收敛\(\iff \forall p\in N,\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}{|a_{n+p}-a_n|=0}\)
    2. \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=A\iff\forall k\in \text{N},\exists N>0,\forall n>N,|x_n-A|<\frac1k\)
    3. \(a_n收敛 \iff \exists N>0,\forall \epsilon>0,\forall m,n>N,均有|a_m-a_n|<\epsilon\)

  4. 重要的二级结论：

\[ Cauchy定理:\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=A,则\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}=A \]

  1. \(x_n=\sum_{i=1}^n\sin(\frac{2i-1}{n^2}a),\text{pf:}\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=a\) (Hint:拟合法)

  2. 求极限\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n\)：

    1. \(x_n=\cos\frac x2\cos\frac x{2^2}\cdots\cos\frac x{2^n}\)
    2. \(x_n=(\frac{\sqrt[n]a+\sqrt[n]b}{2})^n\)
    3. \(x_n=\frac 1{\sqrt[n]{n!}}\)
    4. \(x_n={(n!)}^{\frac1{n^2}}\)
    5. \(x_n=\sqrt[6]{x^6+x^5}-\sqrt[6]{x^6-x^5}\)

  3. (2019(?)年数分1期末)

\[ \begin{align} & 对于数列x_0=a,0<a<\frac\pi2,x_n=\sin x_{n-1}(n=1,2,\cdots). \\ &\text{pf:}(1)\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=0;(2)\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\sqrt\frac n3}x_n=1 \end{align} \]