Skip to content

第一讲 数列极限

实数完备性定理

要求

  1. 给出概念、定理的名字可以使用数学语言准确叙述。

  2. 掌握基本的定理证明链（详细参考 1.4.1 1.4.2）：

    • 确界原理 \(\rightarrow\) 单调有界定理 \(\rightarrow\) 致密性定理 \(\rightarrow\)Cauchy 准则

    • 单调有界定理 \(\rightarrow\) 闭区间套定理 \(\rightarrow\) 有限覆盖定理（聚点原理和 Dedekind 分割定理不要求）

    • 确界原理 \(\rightarrow\) 各个定理

  3. 期末考试会在这几个定理里出叙述题和证明题；小测会考各个定理的数学叙述细节。

概念叙述

  1. 有界，无界

    \[ \begin{align} 数列有界: &\quad\forall n>0,\exists M\in \text{R},使|x_n|<M恒成立\\ 数列无界: &\quad\forall M\in \text{R},\exists n>0,使|x_n|>M \\ 错误(?): &\quad\exists n>0,\forall M\in \text{R},使x_n>M \end{align} \]

    数学语言的否定：转换全称量词和存在量词，注意量词顺序，改变符号

  2. 最大数，最小数

    \[ \begin{align} \max\{S\}=a &\iff a\in S且\forall x\in S,a\ge x\\ \min\{S\}=b &\iff b\in S且\forall x\in S,b\le x \end{align} \]

  3. 上确界，下确界

    \[ \begin{align} M=\sup\{S\}\iff& \forall x\in S,x\le M且\forall\epsilon>0,\exists x'\in S有x'>M-\epsilon\\ m=\inf\{S\}\iff& \forall x\in S,x\ge m且\forall\epsilon>0,\exists x'\in S有x'<M+\epsilon \end{align} \]

定理叙述

  1. 确界原理

    非空有界集必有上下确界

  2. 单调有界定理

    单调有界数列必收敛

  3. 致密性定理

    任何有界数列必有收敛子列

  4. Cauchy 准则

    \[ a_n收敛\iff\forall \epsilon>0,\exists N>0,\forall m,n>N,均有|a_m-a_n|<\epsilon \\ \iff \forall \epsilon>0,\exists N>0,\forall n>N,p>0,均有|a_{n+p}-a_n|<\epsilon \]

  5. 区间套定理

    \[ \begin{align} & 设闭区间列\{[a_n,b_n]\}满足:\\ & 1.[a_{n+1},b_{n+1}]\subset[a_n,b_n],n=1,2,3..\\ & 2.\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0 \\ & 则存在唯一实数\xi，满足\xi\in[a_n,b_n],n=1,2.. \end{align} \]

  6. 有限覆盖定理

    \[ \begin{align} & 设[a,b]是一个闭区间，\{E_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}是[a,b]的任意一个开覆盖，\\ & 则必存在\{E_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}的一个子集构成[a,b]的一个有限覆盖。 \\ \iff & 在\{E_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}必有有限个开区间E_1,E_2..E_N使[a,b]\subset\cup_{j=1}^NE_j \end{align} \]

常用技巧

  1. 证明集合相等的常用方法：相互包含

    例题：确界的关系式

    设 \(A,B\) 是两个由非负数组成的任意数集 , 试证明 \(\sup_{x\in A}\{x\}\cdot \sup_{y\in B}\{y\}=\sup_{x\in A,y\in B}\{xy\}\)

  2. 对于实数完备性定理的证明题，首先将给的条件和证明内容均翻译成数学语言（方便骗分），再观察条件和证明内容的联系。

例题 & 习题

  1. 用确界原理证明单调有界原理、致密性定理、Cauchy 准则、闭区间套定理、有限覆盖定理。
  2. 用单调有界定理证明闭区间套定理，用闭区间套定理证明有限覆盖定理；用致密性定理证明 Cauchy 收敛准则。
  3. \(f,g为D上有界函数,\text{pf:}\inf\{f(x)+g(x)\}\le\inf{f(x)}+\sup{g(x)}\)
  4. 设 \(f(x)在[0,1]上递增,f(0)>0,f(1)<1,求证:\exists x_0\in(0,1),使得f(x_0)=x_0^2\) (Hint: 确界原理 or 区间套定理 )
  5. 设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有定义且在每一点处函数的极限存在，求证 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有界 (Hint: 有限覆盖 )
  6. \(设f(x)在(a,b)内有定义，\forall\xi\in(a,b),\exists\delta>0,当x\in(\xi-\delta,\xi+\delta)\cap(a,b)时,\) 有当 \(x<\xi\) 时 ,\(f(x)<f(\xi), 当x>\xi\) 时 ,\(f(x)>f(\xi)\). 请证明 :\(f(x)在(a,b)\) 内严格递增 (Hint: 有限覆盖 )

数列极限

要求

  1. 从小测的角度来说，概念，定理以及判断题是比较重要（搞脑子）的，当然也会有计算题
  2. 期末考试可能会出 1-2 道求极限，1 道非常简单的极限证明题（附在定理叙述上）
  3. 计算也需要掌握，但是技巧性强的可以不掌握
  4. 学好数列极限对函数极限和级数都很有帮助，而学好了函数极限就可以学好导数和积分，然后你就学会了数分 1

概念叙述

  1. 数列极限（\(\epsilon-N\) 语言）
\[ \forall\epsilon>0,\exists N>0,\forall n>N,|x_n-A|<\epsilon称\lim_{x\rightarrow\infty}x_n=A\\ *:|x_n-A|<f(\epsilon),f(x)满足\lim _{x\rightarrow0}f(x)=0即可 \]
  1. 数列发散
\[ \forall A\in R,\exists\epsilon_0>0,\forall N>0,\exists n_N>N,|x_n-A|\ge\epsilon_0 \]

  1. 子列

    \[ \{a_n\}收敛\iff \{a_n\}的任意子列都收敛于A(请注意减弱命题) \]

  2. 无穷小量和无穷大量

    \[ \begin{align} & 无穷小量 : \lim_{x\rightarrow\infty}= 0 \\ & 无穷大量 : \forall M>0,\exists N,\forall n>N,|x_n|>M \end{align} \]

定理叙述

  1. Stolz 定理

    常用于计算形式需要洛必达的极限

  2. Cauchy 收敛准则、等价形式及否定

\[ \begin{align} a_n收敛& \iff\forall \epsilon>0,\exists N>0,\forall m,n>N,均有|a_m-a_n|<\epsilon \\ & \iff \forall \epsilon>0,\exists N>0,\forall n>N,p>0,均有|a_{n+p}-a_n|<\epsilon \\ 否定形式:a_n发散& \iff\exists\epsilon_0>0,\forall N,\exists n_0>N,p>0,|x_{n_0+p}-x_{n_0}|\ge\epsilon_0 \end{align} \]

常用技巧

  1. 一些关系链：

    1. \(n\rightarrow\infty时\)
    \[ \log\log n\ll \log n \ll n^a\ll b^n\ll n!\ll n^n\quad(a,b>0) \]
    1. \(x\rightarrow0时\)
    \[ \begin{align} x \sim &\sin x\sim \tan x \sim \arcsin x\sim \arctan x \\ \sim &\ln{(1+x)} \sim \text{e}^x-1 \sim \frac{a^x-1}{\ln a}\sim \frac{(1+x)^b-1}b \quad(a>0,b\neq0)\\ & 1-\cos x \sim \frac12 x^2 \end{align} \]

  2. 证明数列极限存在：

    1. 定义（\(\epsilon-N\) 方法）

    技巧：放大法 ( 常用 )/ 分步法 / 构造形式类似的项 / 拟合法 ( 技巧性较强 )

    1. Cauchy 准则：不需要知道极限值

    2. Cauchy 准则的推论：常用于判断数项级数是否收敛 (\(a_n=\sum_{n=1}^{\infty}f(n)\))

    3. 单调有界原理：不动点，递推式考虑

    4. 极限的运算性质：本身存在极限 有限项运算

  3. 证明数列极限不存在：

    1. Cauchy 命题的否定形式
    2. 子列不收敛或收敛于不同的数

  4. 求数列 ( 函数 ) 极限：

    1. 极限的运算性质

    一些重要极限：\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}n^\frac1n=1\)，\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1+\frac1n)^n=e\)

    1. Stolz 定理

    2. 夹逼定理

    3. 等价代换与初等变形

    4. 递推形式的极限：单调有界原理 + 证明 / 压缩映像 ( 略难 )/Stolz 公式的应用

    5. Taylor/L'Hospital/ 积分定义 / 数项级数 / 级数的连续性 ...： 很重要，但这是后事了

例题 & 习题

  1. 判断下列关于子列的命题

    1. 设 \(\{a_n\}\) 是一个数列，若在任一子列 \(\{a_{n_k}\}\) 中均存在收敛子列 \(\(\{a_{n_{k_r}}\}\)\), 则 \(\(\{a_n\}\)\) 必收敛
    2. \(\{a_n\}单调递增，\{a_{n_k}\}为其中一个子列，\lim\limits_{k\rightarrow\infty}a_{n_k}=a,则\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{a_n}=a\)
    3. \(\{a_{2k}\}\{a_{2p+1}\}\{a_{2023t+2024}\}均收敛，则\{a_n\}收敛\)
    4. \(\{a_{2k}\}\{a_{2t+1}\}\{a_{6p+5}\}均收敛，则\{a_n\}收敛\)

  2. 判断下列关于无穷小量的命题

    1. 无穷多个无穷小量之和是无穷小量
    2. 无穷多个无穷小量之积是无穷小量
    3. 无穷小量与有界量之积为无穷小量

  3. 判断下列关于数列极限的命题

    1. 数列 \(a_n\) 收敛 \(\iff \forall p\in N,\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}{|a_{n+p}-a_n|=0}\)
    2. \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=A\iff\forall k\in \text{N},\exists N>0,\forall n>N,|x_n-A|<\frac1k\)
    3. \(a_n收敛 \iff \exists N>0,\forall \epsilon>0,\forall m,n>N,均有|a_m-a_n|<\epsilon\)

  4. 重要的二级结论：

\[ Cauchy定理:\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=A,则\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}=A \]

  1. \(x_n=\sum_{i=1}^n\sin(\frac{2i-1}{n^2}a),\text{pf:}\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=a\) (Hint: 拟合法 )

  2. 求极限 \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n\)：

    1. \(x_n=\cos\frac x2\cos\frac x{2^2}\cdots\cos\frac x{2^n}\)
    2. \(x_n=(\frac{\sqrt[n]a+\sqrt[n]b}{2})^n\)
    3. \(x_n=\frac 1{\sqrt[n]{n!}}\)
    4. \(x_n={(n!)}^{\frac1{n^2}}\)
    5. \(x_n=\sqrt[6]{x^6+x^5}-\sqrt[6]{x^6-x^5}\)

  3. (2019(?) 年数分 1 期末 )

\[ \begin{align} & 对于数列x_0=a,0<a<\frac\pi2,x_n=\sin x_{n-1}(n=1,2,\cdots). \\ &\text{pf:}(1)\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=0;(2)\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\sqrt\frac n3}x_n=1 \end{align} \]